Biomecanica: Operaciones con magnitudes escalares y vectoriales

Operaciones con magnitudes escalares

Las magnitudes escalares se comportan como números reales y por tanto admiten las operaciones básicas entre números: suma y multiplicación (con sus respectivas inversas y combinaciones entre ellas).

1 Suma

La suma de magnitudes escalares debe respetar el principio de homogeneidad dimensional, esto es, las magnitudes sumadas deben poseer las mismas dimensiones (no se puede sumar una distancia a un tiempo).

$M=m_1+m_2+\cdots+m_n = \sum_{i=1}^n m_i$

La suma de magnitudes escalares posee las propiedades habituales: conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico.

2 Producto

En el producto de magnitudes escalares, el resultado tiene por dimensiones el producto de las dimensiones de los diferentes factores. Así, por ejemplo la densidad de masa

$\rho = \frac{m}{V}$

pose dimensiones

$[\rho]=\frac{[m]}{[V]} = \frac{M}{L^3}= M\cdot L^{-3}$

y se medirá en el SI en kg/m³.

El producto de magnitudes escalares también posee las propiedades habituales: conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico.

Además, conjuntamente poseen la propiedad distributiva, que permite sacar factor común o quitar paréntesis, según el caso

$\rho(V_1+V_2) = \rho V_1 + \rho V_2\,$

Operaciones con magnitudes vectoriales

Las operaciones que pueden efectuarse entre magnitudes vectoriales entre sí y con magnitudes escalares, son más amplias y poseen propiedades específicas.

1 Suma de vectores

las magnitudes vectoriales pueden sumarse, siempre respetando el principio de homogeneidad dimensional (una fuerza puede sumarse con otra, pero no con una velocidad, por ejemplo).

$\vec{F}_T = \vec{F}_1+\vec{F}_2$

Gráficamente, la suma de magnitudes vectoriales puede definirse de dos formas equivalentes:

Colocándolos con el mismo origen: la suma vectorial será la diagonal del paralelogramo que definen (regla del paralelogramo).
Colocando uno a continuación del otro y uniendo el origen del primero con el extremo del segundo (regla del triángulo).

Regla del paralelogramo	Regla del triángulo

Esta suma así definida presenta las propiedades usuales de la suma: conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico.

La propiedad asociativa, junto con la regla del triángulo, permite sumar

n

vectores a base de formar una línea quebrada disponiendo los vectores en sucesión y uniendo el origen del primero con el extremo del último.

Para que dos vectores ligados se puedan sumar, deben poseer el mismo punto de aplicación. No tiene significado sumar, por ejemplo, el campo eléctrico en un punto con el campo eléctrico en otro. Sí lo tiene sumar dos campos eléctricos aplicados sobre el mismo punto. Cuando los puntos de aplicación coinciden, el punto de aplicación de la suma será el mismo que el de los sumandos.

2 Producto por un escalar

Las magnitudes vectoriales pueden multiplicarse por magnitudes escalares resultando una nueva cantidad vectorial. Así, por ejemplo, la fuerza sobre una carga puntual es proporcional al campo eléctrico en el que se encuentra

$\vec{F} = q \vec{E}$

El resultado es un vector, la fuerza, que tiene por módulo

$\left|\vec{F}\right| = \left|q\right| \left|\vec{E}\right|$

por dirección la misma del vector original, en este caso el campo eléctrico, y por sentido el mismo que el del vector si la magnitud escalar, la carga en este caso, es positiva y opuesto si es negativa.

Las dimensiones del producto de un escalar por un vector son las del escalar multiplicadas por las del vector. Así, por ejemplo, de la segunda ley de Newton

$\vec{a} = \frac{1}{m}\vec{F}\qquad\Rightarrow \qquad [a] = \frac{[F]}{[m]}\qquad\Rightarrow\qquad 1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 1\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}$

2.1 Vectores unitarios

La multiplicación de un vector por un escalar, permite definir el vector unitario en una dirección dada

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \qquad \Rightarrow\qquad |\vec{T}| = 1$

Por tratarse de la división entre dos cantidades con las mismas dimensiones se deduce que los vectores unitarios son adimensionales.

3 Producto escalar

El producto escalar entre dos magnitudes vectoriales es una magnitud escalar, definida como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman,

α

. Así, para la potencia desarrollada sobre una partícula

$P= \vec{F}\cdot\vec{v} = \left|\vec{F}\right|\,\left|\vec{v}\right|\cos(\alpha)$

Obsérvese que el producto escalar se representa con un punto entre los dos vectores, mientras que el producto por un escalar no lo lleva (además de la presencia o ausencia de flechas que indican el carácter vectorial de las magnitudes).

El producto escalar da como resultado una cantidad positiva o negativa según el ángulo que formen los dos vectores. Es positivo si el ángulo es agudo, negativo si es obtuso, y nulo si los dos vectores son ortogonales.

$\vec{a}\perp\vec{b} \qquad\rightarrow\qquad \vec{a}\cdot\vec{b}=0$

El producto escalar también se anula si alguno de los dos vectores es el vector nulo, por lo que se puede concluir

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0\qquad\Leftrightarrow\qquad\left\{\begin{array}{l} \vec{a}=\vec{0} \\ \quad\mbox{o} \\ \vec{b}=\vec{0} \\ \quad\mbox{o} \\ \vec{a}\perp\vec{b} \end{array}\right.$

El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a su módulo al cuadrado, ya que el coseno es igual a la unidad,

$\vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^2\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}$

El producto escalar es conmutativo, pero NO es asociativo, ya que ni siquiera está definido el producto escalar de tres vectores.

$(\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot \vec{c} =?????$

En la desigualdad

$\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\vec{c}\neq \vec{a}\left(\vec{b}\cdot\vec{c}\right)$

tenemos en cada miembro el producto de un escalar (el producto escalar de dos vectores) por un vector. El resultado en el primer miembro es un vector que apunta en la dirección de $\vec{c}$ y en el segundo en la de $\vec{a}$ , que será diferente en general, por lo que los resultados no son coincidentes.

Biomecanica

jueves, 15 de septiembre de 2016

Operaciones con magnitudes escalares y vectoriales